Треугольник авс,в котором угол а=45,ав=ас(2 под корнем),вписан в окружность радиуса 4,а хорда этой окружности,проходящая через вершину в и центр вписанной в этот треугольник окружности,пересекает сторону ас в точке
м.найдите площадь треугольника амв

166

299

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Ариана141197374

Геометрия

4,8(47 оценок)

для начала я сделаю вид, что не заметил вот это "(2 под корнем)" и найду стороны треугольника по теореме синусов, считая заданным радиус описанной окружности r = 4 и угол при вершине 45 градусов.

2*r*sin(45) = a; (а - основание вс, b обозначим ав= ас - боковая сторона; h обозначим ah - это высота к основанию вс, н - середина вс);

a = 4*√2;

здесь есть неясность. проще всего вычислить b так

2*r*sin((180 - 45)/2) = 8*cos(45/2); (аргументы тригонометрических ф-ций - углы в гардусах).

cos(45/2) = x; 2*x^2 - 1 = cos(45) = √2/2; x = √(2 + √2)/2; b = 4*√(2 + √2);

но если надо, я могу вычислить эту величину без "сложной" тригонометрии.

пусть о1 - центр описанной окружности. тогда совсем легко увидеть, что угол во1н = 45 градусов. поэтому о1н = вн = а/2 = 2*√2; ah = h = r + o1h = 4 + 2*√2;

отсюда b = √((a/2)^2 + h^2) = 4*√(2 + √2);

хорда вм является биссектрисой угла в (раз проходит через центр вписанной в авс окружности), то есть ам/ас = ав/(ав + вс) = b/(a + b);

но ам/ас = sabm/sabc; (это совершенно очевидно, но вот "доказательство", если нужно - пусть h1 - расстояние от в до ас. тогда sabc = ac*h1/2; sabm = am*h1/2; ну, и поделить одно на другое);

sabm = sabc*b/(a + b);

теперь вычисление площадей.

sabc = a*h/2 = 4*√2*(4 + 2*√2)/2 = 8*(√2 + 1);

sabm = 8*(√2 + 1)*4*√(2 + √2)/(4*√(2 + √2) + 4*√2); много

можно немного запись, пусть p = √2 + 1; тогда.

sabm = 4*√2*p(p - √p);