Длина ребра правильного тетраэдра авсд равна 1 см. найдите угол между прямыми дм и ск, где м- середина ребра вс , к- середина ребра ав.
Ответы на вопрос:
прямой способ решения такой
пусть точка р - середина кв, то есть вр = кp = 1/4; тогда мр ii ck и мр = ск/2. из прямоугольного треугольника dkp с катетами dk = √3/2 и кр = 1/4 находится dp (нужен только квадрат dp^2 = dk^2 + kp^2). в треугольнике dpm две другие стороны dm = √3/2, мр = √3/4; отсюда по теореме косинусов (x - косинус искомого угла dmp)
dk^2 + kp^2 = dm^2 + mp^2 - 2*dm*mp*x;
1/16 = 3/16 - 2*(√3/2)*(√3/4)*x;
x = 1/6;
ответ arccos(1/6);
есть такой интересный способ.
если взять куб abcda1b1c1d1, то фигура с вершинами a1bc1d - правильный тетраэдр. если обозначить м - центр грани куба abcd, к - центр грани bcc1b1, то прямые dk и a1m - и есть нужные прямые.
углы не зависят от масштаба, есть принять сторону куба за 1
и i j k - единичные вектора i = ab; j = ad; k = aa1;
то
вектор ma1 = -i/2 - j/2 + k;
вектор dk = -i/2 + j + k/2;
их скалярное произведение равно 1/4 - 1/2 + 1/2 = 1/4,
а произведение модулей (у них модули равны) (1/2)^2 + 1^2 + (1/2)^2 = 6/4,
откуда косинус угла 1/6.
Популярно: Геометрия
-
marfmelov03.04.2021 18:34
-
aalenka47118.05.2021 18:54
-
Lika4676301.07.2022 15:10
-
leravseznayka23.02.2021 03:49
-
dayanocha008025.06.2020 16:52
-
Falkon551119.01.2023 07:02
-
KaterinaReyn10.07.2021 18:50
-
qsn5085707.03.2021 10:28
-
lizazarandiua07.03.2022 03:02
-
nasyatkachenko803.10.2021 13:39