В прямоугольной трапеции ABCD ( bc параллельно AD, AB перпендикулярно AD )вписана окружность центром в точке O.найдите площадь трапеции если ОС равна 6 см ОD равна 8 см

273

389

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

RedSakura

Геометрия

4,7(96 оценок)

Свойства трапеции: Треугольники, лежащие на боковых сторонах, при пересечении диагоналей, равновеликие.

Если в трапецию вписана окружность с радиусом R и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка - a и b, то R²=a*b.

Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2*a*b/(a+b) (среднее гармоническое), где a и b - основания трапеции (формула Буракова).

Итак, площади треугольников АВМ и СМD равны. R² = CG*GD.

Заметим, что CG=FC и GD=HD как касательные из одной точки.

BF=BE=AE=AH = R.

Тогда CF = CG = BC − R, а GD = HD = AD - R. R² = CG*GD = (BC − R)*(AD - R). Отсюда R=(AD·BC)/(AD+BC).

Вспомним: "Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2*a*b/(a+b) (среднее гармоническое), где a и b - основания трапеции (формула Буракова)".

Из этого свойства видим, что половина отрезка (в нашем случае это отрезок КМ) будет равна ВС*AD/(BC+AD), то есть КМ = R.

Отсюда Sabm = (1/2)*AB*KM = (1/2)*2*R*R = R², откуда R=√S.

ответ: R = √S.