Регистрация
toteara1
14.08.2021 18:17
Алгебра
Есть ответ 👍

Докажите методом математической индукции, что следующее неравенство верно для любого натурального n больше 5: 2^{n} \ \textgreater \ n^{2}

распишите шаги поподробнее

177
395
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Xtrail
Xtrail
4,5(40 оценок)

1) проверяем условие при наименьшем возможном значении n.

n>5, значит проверяем условие при n=6

2^66^2 \\ 6436

Верно!

2) Сделаем предположение, что для всех n=k, k>5 верно неравенство:

2^kk^2

3) Тогда при n=k+1 должно выполняться неравенство:

2^{k+1}(k+1)^2

Вернемся к неравенству из второго пункта и домножим его на 2:

2^kk^2 \ |*2 \\ 2*2^k2k^2 \\ 2^{k+1}2k^2

Подставим 2k² в 3-й пункт и рассмотрим полученное неравенство:

2k^2(k+1)^2 \\ 2k^2k^2+2k+1 \\ k^2-2k-10 \\ \\ k^2-2k-1=0 \\ D=2^2+4*1=8=(2\sqrt{2})^2 \\ \\ k_{1,2}=\frac{2 \pm2\sqrt{2}}{2}=1 \pm \sqrt{2} \\ \\ +++(1-\sqrt{2})---(1+\sqrt{2})+++_k

по методу интервалов определяем, что неравенство k²-2k-1>0 выполняется при  k>1+√2, тогда при k>5 оно тоже выполняется (так как 5>1+√2)

Тогда обратным ходом получаем 2k²>k²+2k+1 при k>5 или 2k²>(k+1)² при k>5

Если 2^{k+1}2k^2, а 2k^2(k+1)^2 , при k>5

То есть, 2^{k+1}2k^2(k+1)^2 , при k>5, то по закону транзитивности:

2^{k+1}(k+1)^2 , при k>5 - ч.т.д

Mila2019
Mila2019
4,4(96 оценок)
Получается надо найти корень этого числа например 9, мы знаем, что корень этого числа 3 то есть мы 9 поднесли под корень  √9=3 то же самое   √7=√7 а вот например  √18=3√2 ( так как 18 разлаживается на 9 и 2, из 9 можно извлечь корень  ⇒3√2  √2 остается)

Популярно: Алгебра