В трикутнику ABC кут C = 90°, AB=20, ВC=16. Знайти sinА, cosА, tgВ решить
286
490
Ответы на вопрос:
Обозначим стороны ав=ас=b, bc=a, биссектрису bl=d, угол abl=альфа, тогда углы при основании треугольника abc=acb=(2альфа)угол при вершине bac=(180-4альфа)и альфа должен быть < 45 градусов, т.е. 2альфа должен быть < 90 градусов, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть alb=(3альфа)по т.синусов: a*sin(2альфа) = b*sin(180-4альфа)отсюда a = b*sin(180-4альфа) / sin(2альфа) = b*sin(4альфа) / sin(2альфа) = = 2*b*cos(2альфа)по т.синусов: al*sin(3альфа) = b*sin(альфа)по условию d = bc - al = a - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = 2*b*cos(2альфа) - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = b* ( 2*cos(2альфа) - sin(альфа) / sin(3альфа) )для длины биссектрисы справедлива формула: d = 2*a*b*cos(альфа) / (a+b)отдельно запишем a+b = 2*b*cos(2альфа) + b = b*(2*cos(2альфа) + 1)d = 2*2*b*cos(2альфа)*b*cos(альфа) / ( b*(2*cos(2альфа) + 1) ) = = 4*b*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)если приравнять два получившихся равенства для биссектрисы d, то длина стороны b сократится и останется тригонометрическое равенство: sin(альфа) / sin(3альфа) = = 2*cos(2альфа) - 4*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)после несложных преобразований можно получить равенство: 2*cos(2альфа)*(4*(cos(альфа))^2 - 1) = 1 + 4*cos(2альфа)*cos(альфа)это выражение можно к полному уравнению четвертой степени относительно косинуса альфа одно из решений здесь cos(альфа) = +- 1/2но этот угол не может быть в равнобедренном треугольнике (см. решать оставшееся кубическое уравнение, то единственным подходящим решением получается cos(альфа) =примерно= 0.94 (0.93969)это угол около 20 градусовтогда углы данного равнобедренного треугольника 40, 40, 100
Популярно: Геометрия
-
ScRoller20.02.2021 23:07
-
наст8321.03.2023 21:44
-
ddasha68106.11.2021 06:36
-
valdan200824.05.2023 05:38
-
fox02713foxsi14.05.2022 16:59
-
alinaetosila200415.12.2022 16:50
-
Лизок202014.10.2021 00:49
-
Dlana08.09.2021 03:32
-
Vita081416.12.2021 15:26
-
Alina200727111.11.2022 15:30