Квадратный трехчлен f(x) имеет 2 различных корня.
может ли так оказаться, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, а уравнение f(f(f( = 0 — 7 различных корней?

161

389

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Соня200789

Алгебра

4,6(45 оценок)

ответ: нет.

из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.

пусть искомый многочлен f(x) существует.

тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).

заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не , поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.

рассмотрим уравнение f(f(f( = 0. его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).

то есть уравнение f(f(f( = 0 имеет не более 6 корней