Зная, что ряд $\frac{(-1)^{n+1}}{n} =ln2$ , найти сумма ряда, полученного путем перестановки его членов
[tex]1+\frac{1}{3} -\frac{1}{2}+\frac{1}{5} +\frac{1}{7} -\frac{1}{4}+/tex]

218

408

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

SeamCard

Алгебра

4,4(8 оценок)

пример

последовательность $\bigg(\dfrac{1}{n}\bigg)$ монотонно стремится к нулю, поэтому по признаку лейбница ряд сходится. найдем $s_{2n}$

$s_{2n}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}=\\ \\ =1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}++\dfrac{1}{2n}-\bigg(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}++\dfrac{1}{n}\bigg)~~\boxed{=}$

выпишу формулу пусть $h_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+{1}{n}$ . эйлер получил асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда:

$h_n=\ln n+c+\varepsilon_n$

где $c=0./tex] - постоянная эйлера, при [tex]n\to \infty$ значение $\varepsilon_n\to0$

$\boxed{=}~~c+\ln 2n+\varepsilon_{2n}-\big(c+\ln n+\varepsilon_n\big)=\ln 2+\varepsilon_{2n}-\varepsilon_{n}$

следовательно, $\displaystyle s=\lim_{n \to \infty} s_n= \lim_{n \to \infty} s_{2n}=\ln 2+0-0=\ln2$

$(s_n)$ - последовательность частичных сумм данного ряда.

это мы показали что тот ряд равен ln 2. теперь перейдем к нашем .

[tex]1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}++\dfrac{1}{2a-1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}--\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2a+3}+\\ \\ \\ ++\dfrac{1}{4b-1}-/tex]

в силу примера, что мы показали в начале, мы получим

[tex]1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}++\dfrac{1}{2a-1}-\bigg(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}++\dfrac{1}{2b}\bigg)+\\ \\ \\ +\bigg(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2a+3}++\dfrac{1}{4b-1}\bigg)-/tex]

первые две скобки - ряда сходятся, теперь нужно показать что последнее тоже сходится.