Докажите, что: 1)5^n+2^(n+1) кратно 3, если n натуральное; 2)7^n+3^(n+1) кратно 4, если n натуральное.
Ответы на вопрос:
доказательство проведём методом матиндукции
1) 5ⁿ+2ⁿ⁺¹
1. при n = 1 имеем 5 + 4 = 9 - делится нацело на 3.
2. предположим, что и при n = k выражение 5^k+2^(k+1) кратно 3
3. проверим гипотезу при n = k+1. 5^(k+1)+2^(k+2) = 5·5^k + 2·2^(k+1)=
= 3·5^k + 2·5^k+ 2·2^(k+1) = 3·5^k + 2·(5^k+ 2^(k+ поскольку первое слагаемое, очевидно, кратно 3, а второе - кратно 3 согласно нашего предположения, то и вся сумма 3·5^k + 2·(5^k+ 2^(k+1)) кратна 3. значит 5ⁿ+2ⁿ⁺¹ делится на з нацело при любых n∈n.
2) 7ⁿ+3ⁿ⁺¹
1. при n = 1 имеем 7 + 9 = 16 - делится нацело на 4.
2. предположим, что и при n = k выражение 7^k+3^(k+1) кратно 4
3. проверим гипотезу при n = k+1. 7^(k+1)+3^(k+2) = 7·7^k + 3·3^(k+1)=
= 4·7^k + 3·7^k+ 3·3^(k+1) = 4·7^k + 3·(7^k+ 3^(k+ поскольку первое слагаемое, очевидно, кратно 4, а второе - кратно 4 согласно нашего предположения, то и вся сумма, 4·7^k + 3·(7^k+ 3^(k+ кратна 4. значит 7ⁿ+3ⁿ⁺¹ делится на 4 нацело при любых n∈n.
Популярно: Алгебра
-
Анна2309105.09.2022 19:07
-
MadiHale13.12.2020 23:17
-
Evastupid29.09.2021 15:33
-
Strelok7204.06.2023 12:57
-
юлия186828.03.2023 07:04
-
vasilchenko1706.03.2022 00:20
-
lvo2010w11.03.2020 07:34
-
23230616.05.2022 18:52
-
Кирито744927.01.2022 20:21
-
hohodge23.11.2020 12:44