Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основы. найдите этот угол.

181

454

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

SchoolPro1453

Геометрия

4,5(65 оценок)

Обозначим заданные углы α, сторона основания а, боковое ребро l. проекция бокового ребра на основание равна длине стороны основания (свойства правильной шестиугольной пирамиды). cos α = a/l. (1) в боковой грани sin (α/2) = (a/2)/l. используем формулу двойного угла: cos α = 1 - 2sin²(α/2) и подставим значение синуса половинного угла. cos α = 1 - 2*(a²/(4l²)) = 1 - a²/(2l²). (2) приравняем значения косинуса искомого угла по формулам (1) и (2). a/l = 1 - a²/(2l²). замена: a/l = х. тогда х = 1 - (х²/2). получаем квадратное уравнение: х² + 2х - 2 = 0. квадратное уравнение, решаем относительно x: ищем дискриминант: d=2^2-4*1*(-2)=4-4*(-2)=*2)=)=4+8=12; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√12-2)/(2*1)=(√12//2)= √3-1 ≈ 0.73205; x_2=(-√12-2)/(2*1)=-√12/2-2/2=-√3-1 ≈ -2.73205 (отбрасываем). искомый угол равен arc cos (√3-1) = 0,749469 радиан = 42,9414°.