Втреугольнике abc исзвестны стороны: bc=a, ca=b, ab=c. найдите отрезки сторон, на которые они делятся точкой касания с вписанной окружностью

106

408

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

nastyshanastia1

Геометрия

4,7(49 оценок)

пусть точка d лежит на отрезке ав, точка е на отрезке ас, а точка f на отрезке вс.

пусть ad = ae = x , bd = bf = y , ce = cf = z (касательные, проведенные из одной точки, имеют одинаковую длину). тогда получаем систему уравнений

x + y = c

x + z = b

y + z = a

сложив эти уравнения, получаем x + y + z = (a + b + c)/2

вычитая из этого соотношения исходные уравнения, получаем

x = (b + c - a)/2

y = (a - b + c)/2

z = (a + b - c)/2

mixa152rus

Геометрия

4,6(42 оценок)

Удивительно, если решать эту "в лоб", она неприятная (хотя конечно не сложная). сразу можно написать уравнение √(3^2 + h^2) + √(7^2 + h^2) = 28; и решать а вот если мне не охота его решать? если мне просто противно ковыряться в знаках при возведении в квадрат? да, как ни странно, эту можно решить на много понятнее и проще, выполняя совсем простенькие вычисления. пусть длины наклонных x и y. вот если я поищу их, а не это расстояние ясно, что x^2 - h^2 = 3^2; y^2 - h^2 = 7^2; следовательно y^2 - x^2 = 7^2 - 3^2 = 40; или (y + x)*(y - x) = 40; => 28*(y - x) = 40; => y - x = 10/7; (ну как то есть y = 14 + 5/7; x = 14 - 5/7; (такие системы решают в начальных классах) ну, и подстановка h = √(y^2 - 7^2); дает ответ h = (12/7)*√57; к сожалению, этот ответ верен, я проверил численно : ) ну, знаете, иногда трудно поверить, что условие составляли так небрежно, что в ответе получаются какие-то непонятные корни. приближенно h = 12,942573317607. здесь важно, что каждый шаг в решении - это простое действие, которое легко проверить. тот самый случай, когда прямой путь намного длиннее окольного.