Докажите что при симметрии относительно точки прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя)

129

449

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

krudnya

Геометрия

4,5(37 оценок)

А) по известной теореме через центр симметрии и данную прямую можно провести единственную плоскость.

пусть о — центр симметрии, а — данная прямая, α — плоскость, проведенная через о и а.

пусть а ∈ а, построим отрезок оа.

продолжим оа за точку о на расстояние оа1=ао. получим точку а1, симметричную а.

пусть в ∈ а, построим отрезок ов. продолжим ов за точку о на расстояние ов1=ов. получим точку b1, симметричную точке в.

через а1 и в1 проведем прямую b. рассмотрим δaов и δа1ов1⋅aо=а1о, во=ов1, δаов=δа1ов1 как вертикальные, следовательно, δaов=δа1ов1.

тогда, ∠1=∠2 и а || b.

б) пусть а ∈ а. симметричная ей точка а1 тоже принадлежит прямой а; ао=оа1.

точка а произвольна, следовательно, любая точка прямой, а также симметричная точка относительно центра о лежат на прямой а, следовательно, прямая а переходит сама в себя при условии, что проходит через центр симметрии.