Найдите хотя бы один многочлен удовлетворяющий условию (х-2016)r(x+63) = xr(х)

215

424

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Andrey21vek

Алгебра

4,6(34 оценок)

Для сделаем в исходном тождестве замену x=63t и обозначим f(t)=r(63t). т.к. r(x) - многочлен, то f(t) - тоже многочлен. тогда, т.к. 2016=63*32, то исходное тождество перепишется в виде (t-32)f(t+1)=tf(t). подставим в него t=0, получим -32f(1)=0*f(0), откуда f(1)=0. подставим t=1, получим -31f(2)=f(1)=0, т.е. также f(2)=0. затем подставляем последовательно t=2,. будем последовательно получать, f(3)=f(4)==f(32)=0. если дальше подставить t=32, то получится опять 0=f(32). дальнейшая подстановка t=33, не позволяет найти f(33), т.к. будет f(34)=33f(33). аналогично, подстановкой t=-1, мы найдем -33f(0)=-f(-1), откуда не найти ни f(0) ни f(-1). таким образом, пока установлено, что f(t) имеет корни 1,2, 32, а значит, он делится на (t-1)(t-2)··(t-32). поэтому возникает предположение, что f(t) можно попробовать искать в виде f(t)=с (t-1)(t-2)··(t-32), где c - некоторая константа. покажем, что этот f(t) действительно удовлетворяет тождеству: (t-32)f(t+1)=(t-32)·ct(t-1)··(t-31)=t·c(t-1)··(t-31)(t-32)=tf(t). итак, некоторые f(t) найдены. значит, в качестве r(x) можно взять, например r(x)=63³²f(x/63)=(x-63)(x-2·63)(x-3·63)··(x-32·63).