Найти число последовательностей{a1,},состоящих из чисел 1 и -1,которые следующими свойствами: а1+а2++а2n=0 a1≥0, a1+a2≥0, a1+a2+a3+≥0. ответ укажите для n=7

151

265

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

arhivnaykr

Алгебра

4,4(2 оценок)

Обозначим a1 + a2 + + ak = sk, s(k+1) = sk +- 1, s2n = 0. можно считать, что a1 = 1. нам необходимо посчитать количество последовательностей, для которых s1 = 1, все sk > = 0 и s2n = 0. такие последовательности будем называть правильными, а не являющиеся правильными - неправильными. общее число последовательностей, для которых s1 = 1 и s2n = 0, равно биномиальному коэффициенту из (2n - 1) по (n - 1) (понятно, что среди a2, a3, a2n есть ровно (n - 1) число +1, так что нужно найти число способов выбрать (n - 1) место из (2n - посчитаем количество неправильных последовательностей. я , что общее число неправильных последовательностей равно общему числу последовательностей, у которых s1 = -3 и s2n = 0. доказательство. пусть a1, a2, a2n - неправильная последовательность. это означает, что для какого-то номера k выполнилось sk = -1. пусть k - первый номер, для которого это верно. заменим все члены a2, a3, ak на -a2, -a3, -ak и подберем новое значение a1 так, чтобы по-прежнему было sk = -1. тогда a1 = -3. поскольку каждой неправильной последовательности соответствует ровно одна новая последовательность, и из каждой новой последовательности можно получить только одну неправильную последовательность, то их количества равны. количество неправильных последовательностей с учетом утверждения легко посчитать. если a1 = -3 и s2n = 0, то среди a2, a3, a2n должно быть (n - 2) чисел -1 и (n + 1) число +1. отсюда число неправильных последовательностей равно биномиальному коэффициенту из (2n - 1) по (n - 2). остается вспомнить, что число правильных последовательностей = общее число минус число неправильных последовательностей. итоговая формула: для n = 7 ответ равен 1716 / 4 = 429