Докажите, что сумма радиусов вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике равна полусумме катетов

270

347

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

pavy1980

Геометрия

4,7(72 оценок)

Втреугольнике: катеты а и b, гипотенуза с, прямой угол с, r - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности. начнём с описанной окружности. поскольку угол с прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2r теперь вписанная окружность. опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла с, образуют квадрат со стороной r. тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны (а - r) и (b - r). третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r). получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r. но ранее мы получили, что с = 2r тогда 2r = a + b - 2r 2r + 2r = a + b r + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.