Можно ли на окружности расставить числа от 1 до 1991 так, чтобы сумма любых из десяти подряд стоящих чисел делились на 11? заранее !

133

163

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

3JlaK

Алгебра

4,7(82 оценок)

Нет, нельзя. возьмем любых 11 подряд идущих чисел на круге. сумма с 1-го по 10-ое делится на 11. сумма со 2-го по 11 тоже делится на 11. это значит, что 1-ое и 11-ое числа имеют одинаковые остатки при делении на 11, т.к. 9 чисел со 2-го по 10-ое у этих двух сумм общие. а это значит что любые два числа, между которыми есть 9 чисел, имеют одинаковые остатки при делении на 11. т.е. если разделить все числа на группы по 10 чисел (кроме последней), то в каждой группе, например, первые элементы имеют одинаковые остатки. этих групп всего не менее, чем [1991/10]=199. т.е. должно быть не менее 199 чисел с одинаковым остатком. но для каждого остатка от 0 до 10 среди чисел от 1 до 1991 есть всего 1991/11=181 чисел c этим остатком. противоречие.