Может ли разность каких‐либо n‐х (n> 3) степеней двух целых чисел равняться 91?

188

264

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

karvinatatiana

Алгебра

4,8(74 оценок)

Ну решение конечно ну ! разность степеней целых чисел равносильно следующим случаям: пусть x и y-натуральные числа. при четном n очевидно что: (+-x)^n-(+-y)^n=91 x^n-y^n=91 при нечетном n: 1) x^n-y^n=91 2) (-x)^n-y^n=91 -x^n-y^n< 0 (искомый случай невозможен) 3) )^n=x^n+y^n=91 4) (-x))^n=y^n-x^n=91 (по своему характеру аналогичен случаю 1) ) итак у нас в общем итоге два случая: 1) x^n-y^n=91 2) x^n+y^n=91 где x,y-натуральные числа. рассмотрим 1 случай: очевидно что x> y: тогда по формуле разности степеней получим: x^n-y^n=(x-y)*(x^n-1+x^n-2*+y^n-2*x+y^n-1)=91 правая скобка является делителем числа 91. то есть она может быть равна: {1,7,13,91} тк x≠y то тк n> 3 и x,y-натуральные числа то очевидно : x^n-1+x^n-2*+y^n-2*x+y^n-1> =x^3+x^2*y+x*y^2+y^3> =2^3+2^2*1+2*1+1= =15> 13 а значит: x^n-1+x^n-2*+y^n-2*x+y^n-1=91 x-y=1 положим что y> 2 тогда: x^n-1+x^n-2*+y^n-2*x+y^n-1> =x^3+x^2*y+x*y^2+y^3> = > =3^3+3^2*4+3*4^2+4^3=175> 91 значит y=1 или 2 при y=1 x=2 2^n-1=91 2^n=92 (неверно) при y=2 x=3 3^n-2^n=91 при n=4 не выполняется. тогда n> 4 3^n-2^n> =3^5-2^5=211> 91. (то есть такой случай невозможен) 2) осталось рассмотреть случай: x^n+y^n=91 положив что x,y> 1 x^n+y^n> =2^4+3^4=97> 91 то есть x=1 или y значения не имеет: x^n=90 (невозможно) значит 91 в виде разности степеней не раскладывается.