Втюрьме 500 камер, пронумерованных натуральными числами от 1 до 500. безумный надзиратель за ночь совершает 500 обходов следующим образом: в первый обход он открывает все камеры, во второй — закрывает каждую вторую, в третий — поворачивает ключ в замке каждой третьей камеры, открывая её, если она была закрыта и закрывая, если была открыта. действуя аналогично, он заканчивает 500 обходом, поворачивая ключ в каждой 500 камере. сколько камер осталось открытыми после завершения им всех обходов?

245

289

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

povshedna

Математика

4,4(64 оценок)

Камера останется открытой, если ключ в ее замке повернули нечетное число раз. поскольку на шаге номер i надзиратель поворачивает ключ в замке тех камер, номер которых делится на i, это равносильно тому, что у номера этой камеры нечетное количество натуральных делителей. далее, если число n делится на а, то n также делится и на (n/a), то есть делители любого натурального числа образуют пары, и у большинства чисел четное число делителей. единственный случай, когда количество делителей нечетно - это когда в одной из пар два делителя равны, и должны считаться один раз. а раз a=n/a, то n является полным квадратом. поэтому открытыми останутся камеры с номерами 1, 4, 9, 484, всего 22 камеры