Около треугольника abc со сторонами ac=5, bc=7 описана окружность. сторона bc делит диаметр окружности, перпендикулярный ей, на отрезки, длины которых относятся как 3: 2. найдите сторону ab треугольника.

269

475

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

tsvakhvesna

Математика

4,4(51 оценок)

Пусть mn - диаметр, перпендикулярный стороне bc. bc∧mn=o a∉ диаметру диаметр, перпен хорде делит ее пополам⇒bo=oc=7/2 соединим вершину b с концами диаметра mn вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой⇒тр-ник mbn - прямоугольный. перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, является средне пропорциональным между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу bo средне пропорц между mo и on⇒bo^2=mo*on mo: on=2: 3⇒mo=2x; on=3x⇒ 2x*3x=(7/2)^2⇒6x^2=49/4⇒x^2=49/24⇒x=7/2√6⇒mn=5x=35/2√6 r - радиус окружности⇒2r=35/2√6 применим теорему синусов: ac/sinb=bc/sina=ab/sinc=2r⇒ab=2r*sinc чтобы найти ab, нужно найти sinc sinc=sin(180-(a+b))=sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb bc/sina=2r⇒sina=bc/2r=7: (35/2√6)=(7*2√6)/35=2√6/5 sina=2√6/5⇒cos^2(a)=1-sin^2(a)=1-24/25=1/25⇒cosa=1/5 ac/sinb=2r⇒sinb=ac/2r=5: (35/2√6)=(5*2√6)/35=2√6/7 sinb=2√6/7⇒cos^2(b)=1-sin^2(b)=1-24/49=25/49⇒cosb=5/7 sinc=sina*cosb+cosa*sinb=2√6/5*5/7+1/5*2√6/7=(10√6+2√6)/35⇒ sinc=12√6/35⇒ ab=35/2√6*12√6/35=12/2=6 ответ: ab=6