Ввыпуклом четырехугольнике abcd проведены диагонали.известно,что площади треугольников abd,acd,bcd равны.докажите,что данный четырехугольник является параллелограммом?

105

356

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

RaritetnuWioN

Геометрия

4,7(59 оценок)

Рассмотрим треугольники abd и acd. проведем высоты вн и ск. sabd = ad·bh/2 sacd = ad·ck/2 так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты: ad·bh/2 = ad·ck/2 ⇒ вн = ск. но вн ║ ск как перпендикуляры к одной прямой. тогда нвск - прямоугольник и, значит, нк ║ вс, а значит, ad ║ bc. рассмотрим треугольники acd и bcd. проведем высоты ае и вт к стороне cd. sacd = cd·ae/2 sbcd = cd·bt/2 так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты: cd·ae/2 = cd·bt/2 ⇒ ae = bt. но ае ║ вт как перпендикуляры к одной прямой. тогда еавт - прямоугольник и, значит, ет ║ ав, а значит, сd ║ ав. ad ║ bc, сd ║ ав, значит abcd - параллелограмм по определению.