Найдите наименьшее значения произведения p=cosxcosycos(x+y)

180

392

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

шишловская

Алгебра

4,6(73 оценок)

Рассмторим треугольник , положим что он существует впишем углы по теореме косинусов выразим углы то есть надо найти такое число , если оно существует , что является дробной числом,то есть переходим к нахождению минимального значения этой дроби . теперь по неравенству о средних то есть получим , причем выполняется тогда когда

akur12

Алгебра

4,7(39 оценок)

Преобразуем функцию: p=cosx*cosy*cos(x+y)=1/2* (сos(x+y) +cos(x-y))*cos(x+y)= 1/2*(cos^2(x+y)+cos(x+y)*cos(x-y))=1/4*( (cos(2x+2y)+1+cos(2y)+cos(2x)) возьмем производную по x и приравняем к нулю: -1/2*(sin(2x+2y)+sin(2x))=0 sin(2x+2y)+sin2x=0 sin(2x+y)*siny=0 очевидно что минимум будет когда: sin(2x+y)=0 2x+y=π*n y=π*n-2x (тк функция симметричная то рассматривать производную по у не имеет смысла) это минимум функции при произвольно взятой константе y. то чтобы найти наименьшее значение всей функции,нужно найти наименьшее из наименьших значений при разных y. и так подставляя наш результат в исходную функцию применив формулы получим: p=1/4*(1+cos2x+cos(-2x+π*n)+cos(-x+π*n))= 1/4*(1+2*cos(2x)+cos(4x))=1/4*(1+2*cos(2x)+2*cos^2(2x)-1)= 1/2*(cos^2(2x)+cos(2x)) пусть : сos(2x)=w |w|< =1 p=1/2*(w^2+w) w^2+w-парабола с вершина wв=-1/2 |w|< 1 (верно) значит в этой точке и будет минимум тк ветви идут вверх. откуда: min(p)=1/2*(1/4-1/2)=-1/8 ответ: -1/8