Сфера, центр которой лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, касается боковых граней пирамиды, в точках пересечения биссектрис боковых граней. найдите сторону основания пирамиды, если радиус окружности, вписанной в боковую грань пирамиды, равен 1/ корень из 7

118

319

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

mridrazov

Геометрия

4,7(65 оценок)

Вот я напишу решение, не понравится, можете смело ставить нарушение. точки пересечения биссектрис боковых граней равноудалены от центра основания. следовательно, все точки трех окружностей, вписанных в боковые грани, равноудалены от центра основания. включая, разумеется, и середины ребер основания. то есть - в дополнение к сказанному - к этому множеству равноудаленных точек принадлежат и точки окружности, вписанной в основание. это означает, что существует такая сфера, которая касается всех ребер пирамиды, и центр её лежит в центре основания. вписанные окружности являются сечениями этой сферы плоскостями граней. причем сечение основанием является центральным. на самом деле уже решена, и дальше я так коротко. пусть пирамида abcs, o - центр основания, ac касается сферы в точке b1, as - в точке a2. тогда из сказанного выше следует, что треугольники aa2o и ab1o равны (по трем сторонам). то есть ∠sao = 30°; пусть ac = a; as = d; тогда a*2√3/3 = d√3/2; d = a*2/3; ab1 = a/2; => sb1 = a*√7/6; отсюда легко выразить через a площадь боковой грани (a^2*√7/12) и полупериметр p = a*7/6; откуда a*√7/14 = 1/√7; a = 2; может я в арифметике ошибся где-то, проверяйте.