Втреугольнике авс проведены биссектриса ad и медиана bk. из точек d и k опущены перпендикуляры dm и kn на сторону ав. известно, что ам: мв=9: 1, an: nb=2: 3. найти отношение ad: bk

119

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

romatopovsky

Геометрия

4,6(85 оценок)

Такое слегка туповатое решение, мне оно не нравится с эстетической точки зрения. o - точка пересечения ad и bk, ch - высота к ab. ясно, что md ii ch ii kn; поэтому an/nh = ak/kc = 1; an = nh = ab*2/5; получилось ah = ab*4/5; следовательно bh = ab/5; из условия следует, что bm = ab/10; то есть bm/bh = 1/2; bm = mh; но bm/mh = bd/cd; то есть bd = cd; это означает ( не больше, не меньше), что треугольник abc - равнобедренный, ab = bc; и ad - не только биссектриса, но и медиана, и высота. это не все чудеса этой . далее. dm - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике abd. при этом bm = ab/10; am= ab*9/10; откуда dm^2 = bm*am = (ab^2)*9/100; dm = ab*3/10 = 3*bm; прямоугольные треугольники bmd и abd подобны. поэтому ad = 3*bd; поскольку o - точка пересечения медиан, то do = ad/3 = bd; это второе, и последнее чудо - прямоугольный треугольник obd равнобедренный. это означает, что od/ob = 1/ √2; c учетом того, что od = ad/3; bo = bk*2/3; получается ad/bk = √2;