Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. затем добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.а) пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.б) во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов? в) во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

291

449

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

СерсеяЛаннистер

Математика

4,7(65 оценок)

А) подходит пример 1, 2, 3. в этом случае s1=(1+2+3)2−12−22−32=22. если добавить ещё один член, то получится s2=(1+2+3+4)2−12−22−32−42=70. при этом s2−s1=48. б) исследуем вопрос в общем виде. пусть s1=(x1+⋯+xn)2−(x21+⋯+x2n). с добавлением нового члена получается, что s2=(x1+⋯+xn+xn+1)2−(x21+⋯+x2n+x2n+1). тогда s2−s1=(x1+⋯+xn+xn+1)2−(x1+⋯+xn)2−x2n+1, что с учётом формулы для разности квадратов равно xn+1(2x1+⋯+2xn+x2n+1)−x2n+1=2xn+1(x1+⋯+xn). применим известные формулы, согласно которым xn+1=x1+nd, где d -- разность арифметической прогрессии, а также x1+⋯+xn=n⋅x1+xn2=nx1+n(n−1)2d. для числа 1440, с учётом множителя 2 в выведенной выше формуле, получаем уравнение (x1+nd)(nx1+n(n−1)2d)=720.легко видеть, что n≠12, так как x1≥0, d≥1, и тогда произведение не меньше, чем n⋅n(n−1)2> 12⋅12⋅102=720. в) из предыдущего пункта ясно, что n< 12. значение n=11 не подходит, так как левая часть уравнения делится на 11, а правая не делится. проверим случай n=10. здесь после сокращения на 5 получается (x1+10d)(2x1+9d)=144. понятно, что d=1, что приводит к квадратному уравнению (x1+10)(2x1+9)=144, не имеющему целочисленных решений. случай n=9 после сокращения на 9 даёт (x1+9d)(x1+4d)=80. отсутствие целочисленных решений проще всего усмотреть так. один из сомножителей должен делиться на 5, поскольку 80кратно пяти. но тогда второй сомножитель тоже делится на 5 ввиду того, что разность кратна пяти. однако число в правой части не делится на 25, и так быть не может. для n=8 уравнение после сокращения на 4 принимает вид (x1+8d)(2x1+7d)=180. здесь уже решение легко найти подбором: подходит d=1, x1=4. прогрессия 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 из восьми членов удовлетворяет условиям , и это количество членов является наибольшим.