Найдите отношение суммы квадратов медиан к сумме квадратов сторон треугольника

223

384

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

KiryaUly

Геометрия

4,8(5 оценок)

Mc - медиана к стороне с; ma - медиана к стороне a; mb - медиана к стороне b; (2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2; (2*mb)^2 = 2*(a^2 + c^2) - b^2; (2*ma)^2 = 2*(b^2 + c^2) - a^2; 4*(ma^2 + mb^2 + mc^2) = 2*a^2 + 2*b^2 - c^2 + 2*a^2 + 2*c^2 - b^2 + 2*b^2 + 2*c^2 - a^2 = 3*(b^2 + c^2 + a^2); это всё формулу для длины медианы (2*mc)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2; лучше всего запоминать именно в такой форме. получается она элементарно - если продолжить медиану mc на "свою длину" за точку пересечения со стороной c, то треугольник "достраивается" до параллелограмма, в нем диагонали равны с и 2*mc, а стороны a и b. если теперь записать теорему косинусов для двух треугольников - исходного с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ф); и треугольника со сторонами a, b и 2*mс (2*mс)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(ф); и сложить, как раз и получится нужная формула.