Верно ли, что любое положительное рациональное число можно представить как отношение произведения факториалов (не обязательно разных) простых чисел? например

152

466

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Keranius

Алгебра

4,4(35 оценок)

Верно. покажем, что любое натуральное число n можно представить в указанном виде (а значит, и отношение натуральных чисел будет представимо в таком виде). если n = 1, можно написать, например, n = 2! / 2! по основной теореме арифметики любое натуральное число, большее 1, однозначно (с точностью до порядка сомножителей) представимо в виде произведения простых множителей: (alpha - номер простого числа; все простые числа расположены в порядке возрастания) докажем требуемое утверждение индукцией по alpha_k. база: для alpha_k = 1 утверждение очевидно: первое простое число совпадает со своим факториалом: 2 = 2! переход. пусть для всех alpha_k < m утверждение выполнено. пусть n = q * p^l, причем номер p равен m и q не делится на p. 1) q по предположению представимо в нужном виде. 2) заметим, что p = p! / (p- (p-1)! не содержит простых чисел с номерами, не меньших m, так что по предположению индукции представимо в виде дроби нужного вида. тогда и p! /(p-1)! представимо в нужном виде. 3) остается перемножить дробь для q и l дробей для p. переход доказан.