Решить клетчатая доска 4´4 покрыта тринадцатью доминошками 1´2, стороны которых идут по линиям сетки. доказать, что одну из доминошек можно убрать так, что оставшиеся будут по-прежнему покрывать всю доску.

190

471

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

nastyatsepeleva

Математика

4,7(97 оценок)

Во-первых, заметим, что если какие-то 2 доминошки , то одну из них можно убрать так, чтобы условие выполнялось. поэтому предположим, что они не . кроме того, по условию, каждая из доминошек целиком находится на доске. предположим, что при удалении любой доминошки возникает хотя бы 1 непокрытая клетка. тогда каждой из 13 доминошек можно поставить в соответствие клетку, которая оказывается непокрытой после удаления этой доминошки. заметим, что 1 клетка не может соответствовать 2 доминошкам, иначе после удаления одной из доминошек она по-прежнему покрыта второй. значит, не менее 13 клеток на доске покрыты ровно одной доминошкой. напишем на каждой клетке число, равное числу доминошек, которые эту клетку покрывают. тогда у нас будет не менее 13 единиц. сумма всех чисел равна 13*2=26, а это значит, что сумма чисел на оставшихся 3 клетках равна 26-13=13. так как каждое число - целое, хотя бы одно из них не менее 5. если клетку покрывает хотя бы 5 доминошек, то хотя бы 2 из них совпадает, а это противоречит нашему предположению. значит, предположение неверно, и одну доминошку можно удалить так, чтобы остальные 12 по-прежнему покрывали всю доску.