Вправильную треугольную пирамиду со стороной и боковым ребром 3 корня из 2 вписана другая треугольная пирамида так, что её вершинами являются центры граней первой пирамиды. найдите 3v, где v-объём меньшей пирамиды.

180

473

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Юриякамория

Геометрия

4,8(46 оценок)

пусть а - длина ребра большой пирамиды. тогда полупериметр основания:

р = 3а/2

площадь основания большой пирамиды:

s = √[p(p-a)³] = √[3а/2 · (а/2)³] = (а²√3)/4.

высота большой пирамиды

н = √(а² - а²/3) = а√(2/3)

основание малой пирамиды образует плоскость, параллельную основанию большой пирамиды, т.к. вершины треугольника находятся на одном уровне от основания большой пирамиды, на высоте h, равной половине высоты н большой пирамиды:

h =1/2 · а√(2/3) = a/√6

рассечём большую пирамиду по плоскости основания маленькой пирамиды. получим правильный треугольник с основанием, равным в = 0,5а. сторона а основания малой пирамиды будет стороной правильного треугольника, вершины которого лежат на серединах сторон в. поэтому сторона а = 0,5·0,5а = а/4

площадь основания малой пирамиды (по аналогии с s = (а²√3)/4 )равна

s = (a²√3)/4 = a²√3)/(4·16) = a²√3)/64

требуется найти 3v = s·h

3v = a²√3)/64 · a/√6 = a³/(64√2)

подставим а = 3√2

3v = (3³·2√2)/(64√2) = 27/32

ответ: 3v = 27/32