При каких a неравенство 2> |x+a|+x^2 имеет хотя бы одно положительное решение? объясните, , как решать такого типа!
Ответы на вопрос:
|x+a| + x² < 2
1) x+a ≥ 0
х ≥ -а
x + a + x² < 2
х² + х + (а - 2) < 0
рассмотрим функцию: у = х² + х + (а - 2), её график - квадратная парабола веточками вверх. следовательно, неравенство x + a + x² < 2 справедливо в интервале между корнями уравнения х² + х + (а - 2) = 0
d = 1 - 4· (а - 2) = 1 - 4a + 8 = 9 - 4a
уравнение имеет решение, если d ≥ 0
9 - 4a ≥ 0
4a ≤ 9
a ≤ 2,25
при а = 2,25 парабола будет касаться оси х, и неравенство не будет справедливым, поэтому принимаем a < 2,25
уравнение будет иметь положительное решение при -1 + √(9 - 4a) > 0
√(9 - 4a) > 1
(9 - 4a) > 1
4а < 8
а < 2
при этом х ≥ -а, т.е должно быть х ≥ -2
действительно, если а = 0, тогда уравнение х² + х - 2 = 0 имеет дискриминат
d = 1 + 8 = 9 и корни х₁ = (-1+3): 2 = 1 и х₂ = (-1-3): 2 = -2
получается, что между -2 и 1 неравенство х² + х - 2 < 0 будет справедливым.
и положительные корни есть.
2) x+a ≤ 0
х ≤ -а
-x - a + x² < 2
х² - х - (а + 2) < 0
рассмотрим функцию: у = х² - х - (а + 2), её график - квадратная парабола веточками вверх. следовательно, неравенство -x - a + x² < 2 справедливо в интервале между корнями уравнения х² - х - (а + 2) = 0
d = 1 + 4· (а + 2) = 1 + 4a + 8 = 9 + 4a
уравнение имеет решение, если d ≥ 0
9 + 4a ≥ 0
4a ≥ -9
a ≥ -2,25
при а = -2,25 парабола будет касаться оси х, и неравенство не будет справедливым, поэтому принимаем a > -2,25
уравнение будет иметь положительное решение при 1 + √(9 + 4a) > 0
√(9 + 4a) > -1
естественно, что √(9 + 4a) > 0
(9 + 4a) > 0
4а > -9
а > -2,25
при этом х ≤ -а, т.е должно быть х ≤ 2,25
действительно, если а = 0, тогда уравнение х² - х - 2 = 0 имеет дискриминат
d = 1 + 8 = 9 и корни х₁ = (1+3): 2 = 2 и х₂ = (1-3): 2 = -1
получается, что между -1 и 2 неравенство х² - х - 2 < 0 будет справедливым.
видно, что положительные корни есть.
ответ:
1) при x+a ≥ 0 неравенство |x+a| + x² < 2 справедливо и имеет положительные корни при а < 2
2) при x+a ≤ 0 неравенство |x+a| + x² < 2 справедливо и имеет положительные корни при а > -2,25
Популярно: Математика
-
лолпа08.01.2021 05:27
-
flanyshkatop14.03.2022 15:28
-
daniel987616.10.2021 09:07
-
gr3ygo0se07.04.2023 01:18
-
romashchenko1715.04.2020 14:39
-
egor2002618.07.2020 04:18
-
патишка128.04.2020 23:19
-
kirillsmex13p07s3r21.02.2021 22:02
-
kelaruu15.10.2020 04:47
-
dashkastroga24.02.2023 01:05