Алгебра: Как решить это уравнение, подскажите . x^5+2x-1=0

vlad22803

22.12.2021 00:06

Алгебра

Есть ответ 👍

Как решить это уравнение, подскажите . x^5+2x-1=0

116

125

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

QeenNahimi05062

Алгебра

4,8(46 оценок)

курсив можно не читать.

аналитических методов решения нет. такие уравнения можно решить только численно.

по основной теореме у многочлена 5 степени ровно 5 корней, впрочем, среди них могут быть (как например, в уравнении (x-1)^5=0; у этого уравнения 5 корней х=1; : поскольку доказательство этой теоремы - далеко за пределами школьной программы, просто примите на веру. в данном случае у уравнения 5 степени с вещественными коэффициентами есть 1 вещественный корень и 2 пары комплексно сопряженных кореней (то есть вещественная часть у них одинаковая, а мнимая различается знаком).

вот численное решение уравнения x^5 +2*x - 1 = 0; - все 5 корней.

0,486389035934543;

-0,945068086823133-0,854517514439046*i;

-0,945068086823133+0,854517514439046*i;

0,701873568855862-0,879697197929824*i;

0,701873568855862+0,879697197929824*i;

даже если вы не знакомы с комплексными числами, вещественный корень можно проверить на обычном калькуляторе : а excel даст чистый 0 - точность этого решения выше встроенной точности электронной таблицы. если вы знакомы с комплексными числами, в excel легко можно проверить все корни.

дальше можно совсем не читать.

eсли записать для краткости это так

x1;

x2 = a+b*i;

x3 = a-b*i;

x4 = c+d*i;

x5 = c-d*i;

здесь обозначено

a=-0,945068086823133;

b=-0,854517514439046;

c=0,701873568855862;

d=0,879697197929824;

то исходный многочлен может быть разложен следующим образом

x^5+2*x-1 = (x-x1)*(x^2-2*a*x+a^2+b^2)*(x^2-2*c*x+c^2+d^2);

равенство 0 означает, что уравнение распадается на 3 независимых, так получаются 5 корней. при этом квадратные трехчлены не имеют вещественных корней - очевидно (это суммы двух квадратов, то есть положительные величины при любом вещественном х, если b и d не равны нулю, а они не равны 0). можете проверить численно справедливость такого разложения, подставив значения корней : - это не требует знания комплексных чисел. то есть надо подставить числа, перемножить все выражения в скобках, подобные и показать, что с высокой точностью получается исходный многочлен 5 порядка. (это не так трудно сделать в excel, как кажется - маленькая табличка, 5 строк и 3-5 столбцов.) всего есть 6 коэффициентов в многочлене 5 степени, причем коэффициент при x^5 очевидно равен 1, а свободный член равен (конечно, с минусом)

x1*(a^2+b^2)*(c^2+d^2) = 0,486389035934543*1,62335387121462*1,26649366670405 = 1 опять с точностью выше возможностей excel (то есть таблица уверенно покажет целое число). остается проделать полное перемножение многочленов в форме буквенной записи и так же проверить остальные коэффициенты. они будут равны 0; 0; 0; 2; с высокой точностью.