Существует ли прямоугольный треугольник, у которого точка пересечения медиан лежит на окружности , которая вписана в этот треугольник. если да, тогда найти величины острых углов этого треугольника.
247
484
Ответы на вопрос:
пусть a и b - катеты, с - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности.
всё, что надо понять - что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 (до катета b) и b/3 (до a) - и сразу получается соотношение.
(a/3 - r)^2 + (b/3 - r)^2 = r^2;
(a^2 + b^2)/9 - 2*r*(a + b)/3 + r^2 = 0;
подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2;
c^2/9 - 2*r*(2*r + c) + r^2 = 0;
r^2 + 2*r*c - c^2/3 = 0; обозначаем r/c = x;
x^2 + 2*x - 1/3 = 0; (x+1)^2 = 4/3; x = 2*корень(3)/3 -1;
поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то
sin(a) + cos(a) = 4*корень(3)/3 -1; возводим в квадрат обе стороны
1 + sin(2*a) = (4*корень(3)/3 -1)^2;
sin(2*a) = (2 - корень(3))*8/3;
a = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3);
подробное исследование этой можно у меня найти тут
Популярно: Геометрия
-
mrdaaly08.03.2022 15:08
-
ilugladyshev20.03.2023 17:44
-
inpurple14.07.2021 22:44
-
ино718.10.2021 15:58
-
kateshaginian12.01.2020 05:57
-
Ираказефирка11.04.2023 05:36
-
Dashasdh18.09.2020 13:09
-
SherlockAlya28.08.2020 02:50
-
Skelet00113.02.2023 11:35
-
svetlanavikuli27.08.2021 16:53