Найти обем тела врашения, полученного при врашении прямоугольного треугольника с гипотенузой 4 см и с острым углом зо градусов вокруггепотенузы

286

479

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

vcurakina

Математика

4,6(79 оценок)

простая, ведь при вращении образуются два конуса с одинаковым основанием,"приставленные" друг к другу этими основаниями, а объём конуса, как известно, (пи/3)*r^2 * h, поэтому объём всей фигуры будет

v = (пи/3)*(r^2*h1 + r^2*h2)= (пи/3)*r^2*(h1+h2)= (пи/3)*r^2*c, где с - сторона треугольника, вокруг которой идёт вращение. это решение в самом общем виде. дальше идут простые вычисления, связанные с тем, как задан треугольник.

у тебя он прямоугольный, да еще и угол при вершине хороший - 30градусов.

поэтому дальше вариантов решений масса, можно через тригонометрию, можно рассиатривать подобные треугольники, можно ещё что-нибудь придумать, но я предложу метод решения, так называемых "площадей", потому что он часто позволяет напрямую и просто получить результат. суть его в том, что площадь одной и той же фигуры выражают разными формулами(по разному считают), получается уравнение, из которого всё и находится.

итак, пусть стороны нашего прямоугольного треугольника a,b,c, а высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу h.

тогда, с одной стороны, площадь треугольника равна с*h/2, а с другой стороны a*b/2, поэтому

с*h = a*b, откуда h=r=a*b/c. r- это наш радиус вращения, он же равен высоте.

a и b определить просто а = с/2(против 30), или с*sin(альфа) , если любой угол. b можно определить по теореме пифагора, получится b=c*sqr(3)/2, или c*cos(альфа). таким образом,

h = (c/2) * (с*sqr(3)/2)/с = с*sqr(3)/4, или в общем виде

h = с*sin(aльфа)*с*cos(альфа)/с = с * sin(2*альфа)/2. осталось подставить это значение в нашу формулу объёма, как r.

v = (пи/3)* r^2*c = (пи/3)* с^2*3*c/16 =пи*с^3/16 = пи*4^3/16 = 4*пи. или в общем виде

v = (пи/3)* r^2*c = (пи/12)* с^3 * (sin(2*альфа))^2

вот и всё.

я умышленно затянул решение, чтобы был понятен ход рассуждений в подобных .