Площадь трапеции abcd равна 30 . её основание ad в два раза больше основания bc. точка p лежит на середине боковой стороны ab, а точка r на стороне cd, деля её в отношении dr : rc как 2: 1. прямые ar и pd пересекаются в точке q. найдите площадь треугольника apq

232

461

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

kamila274

Геометрия

4,7(25 оценок)

Обозначим вс=х, ад=2х, проведем высоту ск,обозначим н, ск перпендикулярна ад. s=(х+2х)·н/2 - площадь трапеции, по условию она равна 30. значит х·н=20. это нужное в дальнейшем значение. s (δ apд) = 1/2·ад·h/2 (точка p - середина ав) s( δ apд) = 1/2 х·н=10 ( я обращала внимание, что х·н=20) проведем высоту rм паралелльно ск. из подобия треугольников скд и rмд rm=2h/3 s( δ arд) = 1/2·2х·2н/3= 2х·н/3= 40/3 площадь треугольника apд состоит из площадей треугольников apq и aqд. в сумме дает 10 площадь треугольника arд состоит из площадей треугольников qpд и aqд, сумме 40/3. запишем это в виде равенств и вычтем из второй строки первую получим s ( δqpд) = s (δ apq) + 10/3 обозначим s ( δ apд) = s выразим площади всех треугольников через s s ( δ abq) = s ( у треугольников равны основания ар=рв и высота общая) s ( δ aqд) = 10 - s s (δ qrд) = s + 10/3 ( см. выше) s( δ bcr) = 1/2 ·вс· н/3 ( высота из точки r на сторону вс, в силу условия дr: rc=2: 1) = 1/6· х·н= 20/6=10/3 s (δ abr) = s ( всей трапеции) - s( δarд) - s (δ bcr)= 30 - 40/3 - 10/3=40/3 получили, что площади треугольков abr и arд равны. поскольку основание ar - общее, значит и высоты, проведенные из точек в и д на сторону ar равны. значит и площади треугольников abq и aqд тоже равны. у них основание общее aq. высоты равны. поэтому s+s=10-s s=10|3 ответ площадь треугольника apq равна 10/3