Математика: Решить дифференциальное уравнение: 5xydx-(y^2+5x^2 )dy=0.

Mihael13

15.04.2021 08:24

Математика

Есть ответ 👍

Решить дифференциальное уравнение: 5xydx-(y^2+5x^2 )dy=0.

152

451

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

skripniklenok13

Математика

4,6(77 оценок)

Решить дифференциальное уравнение: 5xydx - (y² + 5x²)dy = 0. (y²+5x²)dy = 5xydx dy/dx = 5xy/(y² + 5x²) получили однородное дифференциальное уравнение так как функция 5xy/(y² + 5x²) однородная нулевого порядка или если подставить вместо х и у kx и ky то получим 5(kx*kx)/((ky)²+5(kx)²) =(k^0)*5(yx)/(y²+5x²) положим y = ux или u = y/x, y' = xu'+ u подставим в исходное уравнение xu'+ u = 5ux²/(u²*x² +5x²) xu'+ u = 5u/(u² + 5) xu' = (5u - u³ - 5u)/(u² + 5) xu' = -u³/(u² + 5) ((u² + 5)/u³)u' = -1/x получили уравнение с разделяющимися переменными (1/u + 5/u³)du = -dx/x интегрируем обе части уравнения ln(u) - 5/(2u²) = -ln(x) + ln(c) произведем обратную замену ln(y/x) - 5/(2(y/x)²) = -ln(x) + ln(c) ln(y) - ln(x) - 5x²/(2y²) = -ln(x) + ln(c) ln(y/c) - 5x²/(2y²) = 0 получили решение дифференциального уравнения в неявном виде. ответ: ln(y/c) - 5x²/(2y²) = 0