Об'єм правильної чотирикутної піраміди SABCD дорівнює 50 см³. Через середини основи АВ і AD проведено переріз паралельно висоті пірами. Знайдіть об'єм меншої з утворених пірамід.

291

419

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

оля1874

Математика

4,8(74 оценок)

Обозначим через E и F середины ребер AB и AD соответственно. Так как перерез паралелен высоте, то он делит пирамиду на две части, которые подобны и имеют общую вершину S. Обозначим через V1 и V2 объемы этих частей соответственно. Тогда:

V1/V2 = (SE/SA)^3,

где SA - высота пирамиды, а SE - высота меньшей пирамиды.

Так как перерез делит пирамиду на две равные части, то V1 = V2 = 50/2 = 25 см³.

Также заметим, что треугольники AEF и ASD подобны, так как соответствующие углы равны (угол AEF равен углу ASD, так как они соответственные при параллельных прямых, а угол EAF равен углу DAS, так как это вертикальные углы). Следовательно, отношение длин отрезков EF и SD равно отношению соответствующих сторон треугольников AEF и ASD:

EF/SD = AE/AS.

Так как AE = AS/2, то EF = SD/2.

Таким образом, высота меньшей пирамиды равна SE = SA - EF = SA - SD/2.

Подставляя это выражение в формулу для отношения объемов, получаем:

V1/V2 = ((SA - SD/2)/SA)^3.

Так как V1 = V2 = 25 см³, то:

((SA - SD/2)/SA)^3 = 1/2.

Из этого уравнения можно выразить отношение SD/SA:

SD/SA = 2(2/3)^(1/3).

Так как объем пирамиды пропорционален кубу высоты, то отношение объемов меньшей и большей пирамид равно (SD/SA)^3. Подставляя значение SD/SA, получаем:

(V1/V2)^(1/3) = (2/3)^(1/3).

Таким образом, объем меньшей пирамиды равен:

V1 = V2*(2/3) = 25*(2/3) = 50/3 см³.

ответ: объем меньшей пирамиды равен 50/3 см³.