Регистрация
Julia5415613614
14.01.2021 12:28
Геометрия
Есть ответ 👍

Найти координаты вершин C и D квадрата ABCD , если A(2;1),B(4;0)

271
462
Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Хшж
Хшж
4,7(94 оценок)

Задача имеет два решения:

1) С(5;2), Д(3;3)

2) С(3;-2), Д(1;-1)


Найти координаты вершин C и D квадрата ABCD , если A(2;1),B(4;0)
Лера100223
Лера100223
4,4(72 оценок)

C(5; 2),\, D(3;3) или C(3;-2),\, D(1;-1)

Объяснение:

Расстояние между двумя точками A({x_1};\,\,{y_1}) и B({x_2};\,\,{y_2}) находится по формуле d = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} .

Поэтому

AB = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {4 + 1} = \sqrt 5 .

Уравнение прямой, проходящей через точки A({x_1};\,\,{y_1}) и B({x_2};\,\,{y_2}), имеет вид

\displaystyle\frac{{x - {x_1}}}{{y - {y_1}}} = \displaystyle\frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{y_2} - {y_1}}},

поэтому уравнение прямой AB

\displaystyle\frac{{x - 2}}{{y - 1}} = \displaystyle\frac{{4 - 2}}{{0 - 1}};

\displaystyle\frac{{x - 2}}{{y - 1}} = - 2;

y - 1 = - \displaystyle\frac{1}{2}x + 1;

y = - \displaystyle\frac{1}{2}x + 2.

Угловой коэффициент найденной прямой k = - \displaystyle\frac{1}{2}.

Так как стороны квадрата перпендикулярны, уравнения прямых, которые их выражают, должны удовлетворять условию перпендикулярности с заданной прямой (для перпендикулярных прямых с угловыми коэффициентами {k_1} и {k_2} выполняется равенство {k_1}{k_2} = - 1).

Тогда угловой коэффициент прямых, проходящих перпендикулярно отрезку AB, равен  - 1:\left( { - \displaystyle\frac{1}{2}} \right) = 2.

Значит все такие прямые имеют вид y = 2x + b.

Подставив координаты точки A в полученное уравнение, найдем

1 = 2 \cdot 2 + b,

b = - 3,

Значит уравнение прямой, перпендикулярной AB и проходящей через точку A,y = 2x - 3.

Аналогично подставив координаты точки B, получим

0 = 2 \cdot 4 + b,

b = - 8.

Значит уравнение прямой, перпендикулярной AB и проходящей через точку B,y = 2x - 8.

Таким образом, точка C лежит на прямой y = 2x - 8, т. е. ее координаты ({x_0};\,\,2{x_0} - 8). А длина стороны BC = AB = \sqrt 5 .

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками (см. выше), получаем:

BC = \sqrt {{{({x_0} - 4)}^2} + {{(2{x_0} - 8 - 0)}^2}} = \sqrt 5 ,

{({x_0} - 4)^2} + 4{({x_0} - 4)^2} = 5,

5{({x_0} - 4)^2} = 5,

{({x_0} - 4)^2} = 1,

\left[ \begin{array}{l}{x_0} - 4 = 1,\\{x_0} - 4 = - 1,\end{array} \right.

\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 5,\\{x_0} = 3.\end{array} \right.

Вычисляем соответствующие значения y для этих точек: для {x_0} = 5{y_0} = 2{x_0} - 8 = 2; для {x_0} = 3{y_0} = 2{x_0} - 8 = - 2.

Выходит, два возможных положения точки C — (5; 2) или (3; -2).

Проделываем ту же последовательность действий для определения координат точки D. Так как она лежит на прямой y = 2x - 3, то D({x_0};\,\,2{x_0} - 3).

AD = \sqrt {{{({x_0} - 2)}^2} + {{(2{x_0} - 3 - 1)}^2}} = \sqrt 5 ,

{({x_0} - 2)^2} + 4{({x_0} - 2)^2} = 5,

{({x_0} - 2)^2} = 1,

\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3,\\{x_0} = 1,\end{array} \right.

тогда для {x_0} = 3{y_0} = 2{x_0} - 3 = 3, а для {x_0} = 1{y_0} = 2{x_0} - 3 = - 1. Значит возможные положения точки D — (3; 3) или (1; -1).

Aruzhan0121
Aruzhan0121
4,4(7 оценок)

Угл AOD = Углу COB = 60 градусов (как вертикальные)

Рассмотрим треугольник AOD, так, как один из углов равен 60 градусам, то треугольник равносторонний, а значит угл DAO равен 60 градусам.

Объяснение:

Популярно: Геометрия