нужно решение с обьяснением. Задача: Произведение простых чисел больших 3 и меньших n имеет сумму цифр 8. Чему может быть равно n (все варианты) Я нашел что если n от 8 до 11 до будет 5*7=35 3+5=8. Но нужно доказать что это единственные числа

222

425

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

алгебра107

Математика

4,8(69 оценок)

8, 9, 10, 11

Пошаговое объяснение:

Среди простых сомножителей обязательно есть 5 (иначе n < 5 и в произведение не войдёт ни одного простого числа), так что произведение точно оканчивается на 5, а сумма остальных цифр равна 3. Поэтому все возможные произведения должны иметь вид (многоточия скрывают любое количество нулей — в том числе и их отсутствие):

3...52...1...51...2...51...1...1...5

Если n < 12, то все возможные произведения это 5 = 5 (не подходит), 5 · 7 = 35 (подходит, 8 ≤ n ≤ 11).

Докажем, что при n ≥ 12 решений задачи нет. Если n > 11, то в произведение входит 11, тогда оно делится на 11. Признак делимости на 11:

Число делится на 11, если разность между суммами цифр, стоящих на четных и нечетных местах, делится на 11.

Эта разность может быть равна (плюсы и минусы выбираются в каждом случае независимо):

±3 ± 5 ±2 ± 1 ± 5±1 ± 2 ± 5±1 ± 1 ± 1 ± 5

Легко видеть, что все разности по модулю не превосходят 8, так что если они и делятся на 11, то обязательно равны 0. Но, как можно заметить, они нулю равны быть не могут: если в одну из сумм входит 5, то другая должна быть не меньше 5, а она не больше 3.