Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 30градусів. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює 4 см. Визначити радіус кола, вписаного в даний трикутник.

298

452

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

меча

Геометрия

4,7(28 оценок)

ответ: $\bf r=4\sqrt3-6$ см .

ΔАВС - равнобедренный , АВ=ВС . ∠А=∠С=30° . R - радиус описанной окружности , r - радиус вписанной окружности , R=4 cм . Найти: r .

По теореме синусов имеем

$\dfrac{BC}{sinA}=2R\ \ \Rightarrow \ \ \ BC=2R\, sinA=2\cdot 4\cdot sin30^\circ =8\cdot \dfrac{1}{2}=4$ см .

Опустим перпендикуляр ВН из вершины В на основание АС . Точка Н будет серединой основания АС .

Найдём АН из ΔABH .

$cosA=\dfrac{AH}{AB}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ AH=AB\cdot cosA=4\cdot cos30^\circ =4\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3$ см

Тогда $AC=2\cdot AH=4\sqrt3$ м .

Известна формула площади треугольника через радиус вписанной окружности : S=pr , где р - полупериметр . Отсюда можно выразить радиус вписан. окр-ти $r=\dfrac{S}{p}$ .