Алгебра: Вычислить cos3α/cosα, если известно, что 2sin3α=sinα

Stukaneva

16.12.2020 13:27

Алгебра

Есть ответ 👍

Вычислить cos3α/cosα, если известно, что 2sin3α=sinα

292

413

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

tatanapustovalo

Алгебра

4,4(90 оценок)

Формулы синуса и косинуса тройного угла:

$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$

$\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$

Рассмотрим известное равенство:

$2\sin3\alpha =\sin\alpha$

$2(3\sin\alpha-4\sin^3\alpha ) =\sin\alpha$

$6\sin\alpha-8\sin^3\alpha =\sin\alpha$

$5\sin\alpha-8\sin^3\alpha =0$

$\sin\alpha(5-8\sin^2\alpha) =0$

Возможны две ситуации:

$\sin\alpha=0\Rightarrow \sin^2\alpha=0\Rightarrow \cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha=1-0=1$

$5-8\sin^2\alpha =0\Rightarrow \sin^2\alpha =\dfrac{5}{8} \Rightarrow \cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha =1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}$

Рассмотрим искомое выражение:

$\dfrac{\cos3\alpha }{\cos\alpha } =\dfrac{4\cos^3\alpha -3\cos\alpha }{\cos\alpha } =\dfrac{\cos\alpha(4\cos^2\alpha -3) }{\cos\alpha } =4\cos^2\alpha -3$

Зная два возможных значения квадрата косинуса, найдем возможные значения выражения.

При $\cos^2\alpha =1$ :

$\dfrac{\cos3\alpha }{\cos\alpha } =4\cdot1 -3=1$

При $\cos^2\alpha =\dfrac{3}{8}$ :

$\dfrac{\cos3\alpha }{\cos\alpha } =4\cdot\dfrac{3}{8} -3=\dfrac{3}{2} -3=-\dfrac{3}{2}=-1.5$

ответ: 1 или -1.5

Lika1639

Алгебра

4,6(83 оценок)

Сразу найдем "нули". т.к. произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то: и т.к. знак неравенства строгий, то эти две точки будут "выколотыми". дальше можно решать методом интервалов или раскрыть скобки и построить параболу. маленький спойлер, т.к. коэффициент при старшей степени х очевидно, будет положителен, то ветви параболы будут направлены вверх и решением системы будет интервал, где график расположен ниже оси ох. давайте рассмотрим оба варианта. 1 способ: т. х=2 и х=4 делят числовую прямую на три части. мы просто берем по любой точке из каждой части и подставляем в левую часть неравенства вместо иска. )\\\\\\( нетрудно будет выяснить, что решение: х∈(2; 4) 2 способ: график (он во вложении). здесь тоже все очевидно. раскрыв скобки, получим неравенство вида: х∈(2; 4)