Регистрация
Совушка09
09.02.2022 02:43
Алгебра
Есть ответ 👍

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка: y′′ − 4y′ + 4 = 0 (0) = 1; '(0) = 3

116
147
Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Aleksandrall
Aleksandrall
4,8(93 оценок)

y = C_1e^{4x} + x + C_2 - общее решение

y = \cfrac{1}{2}e^{4x} + x + \cfrac{1}{2} - частное решение

Объяснение:

1)

y'' - 4y' + 4 = 0y'' - 4y' = -4k^2 - 4k = 0(k - 4)k = 0k_{1} = 4k_2 = 0 Y = C_1e^{4x} + C_2

2)

\overline{y} = Ax \overline{y}' = A \overline{y}'' = 0 \overline{y}'' - 4\overline{y}' = -4 -4A = -4 A = 1 \overline{y} = x

3)

y = Y + \overline{y} = C_1e^{4x} + x + C_2

4)

y = C_1e^{4x} + x +C_2, \ y(0) = 1, \ y'(0) = 3 y(0) = C_1 + C_2 = 1 y' = 4C_1e^{4x} + 1y'(0) = 4C_1 + 1 = 3 C_1 = \cfrac{1}{2} C_2 = 1 - C_1 = \cfrac{1}{2} y = \cfrac{1}{2}e^{4x} + x + \cfrac{1}{2}

braychenko1
braychenko1
4,7(6 оценок)

y′′ − 4y′ + 4 = 0

Решим характеристическое уравнение

к²-4к=0;

к*(к-4)=0

к₁=0; к₁=4;

общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

уобщ. =с₁*е^(0*x)+c₂e^(4х), или уобщ.=с₁+c₂e^(4х)

т.к. y′′ − 4y′=- 4 , то частное решение  ищем по правой части, которая представляет из себя многочлен нулевой степени, учитав, что 0-однократный корень характеристического уравнения. значит.

уч.=Ах,

у'=А,

у''=0

для определения А , подставим уч.=Ах, у'=А, у''=0 в исходное уравнение,

-4А=-4, значит, А=1, уч.=х,

зная, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего  решения однородного и частного решения неоднородного,

получим Y=уо.o+yо.н., подставим найденные уо.o и yо.н в это равенство, получим Y=с₁+c₂e^(4х)+х- общее решение неоднородного дифференциального уравнения

найдем первую  производную

Y'=(с₁+c₂e^(4х)+х)'=4c₂e^(4х)+1

для нахождения с ₁ и с₂ в задаче Коши подставим начальные условия.

Получим

с₁+c₂e^(4*0)+0=1⇒с₁+c₂=1

4c₂e^(4*0)+1=3⇒c₂=2/4=0.5

зная c₂, найдем с₁=1-c₂=1-0.5=0.5

Значит, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет Y=0.5+0.5e^(4х)+х

xLAFFYx
xLAFFYx
4,4(98 оценок)

формула обратной пропорциональности  у=к/х, к -коэффициент

точка (2;14) означает, что х=2, у=14 (всегда, когда даются координаты точки, на первом месте стоит х, а на втором соответствующий У), подставим в уравнение у=к/х эти координаты

14=к/2, тогда к=14*2, к=28, значит уравнение имеет вид у=28/х

Объяснение:

Популярно: Алгебра