Геометрия: НУЖЕН ВАШ НУЖЕН ВАШ ОТВЕТ

Gladiator974

18.07.2021 15:53

Геометрия

Есть ответ 👍

НУЖЕН ВАШ НУЖЕН ВАШ ОТВЕТ

137

337

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Машуня55

Геометрия

4,6(83 оценок)

$\boxed{CD = 15}$

Объяснение:

Дано: ABCD - трапеция, AB ∩ CD = K, AD = 12, AC = 8, $BC = \dfrac{16}{3}$ , BK = 8

Найти: CD - ?

Решение: Треугольник ΔKBC подобен треугольнику ΔKAD по двум углам, так как угол ∠AKD - общий, а так как по условию ABCD - трапеция, то по определению трапеции её две стороны являются параллельными, так как по условию AB ∩ CD = K, то следовательно BC║AD, тогда угол ∠KBC = ∠KAD как соответственные углы при параллельных прямых и секущей по теореме (BC║AD; AK - секущая). По свойству отрезка AK = AB + BK. Так как треугольник ΔKBC подобен треугольнику ΔKAD по двум углам, то по свойствам подобных треугольников: $\dfrac{AD}{BC} = \dfrac{AK}{BK} \Longleftrightarrow AD \cdot BK = BC \cdot AK$ .

$AD \cdot BK = BC \cdot (AB + BK)$

$12 \cdot 8 = \dfrac{16}{3} \cdot (AB + 8 )\bigg | \cdot 3$

288 = 16(AB + 8)|:16

18 = AB + 8

AB = 10

Рассмотрим треугольник ΔABC. ПО теореме косинусов:

$BC^{2} + AC^{2} - 2 \cdot BC \cdot AC \cos \angle ACB = AB^{2}$

$\cos ACB = \dfrac{BC^{2} + AC^{2} - AB^{2}}{2 \cdot BC \cdot AC} = \dfrac{\left (\dfrac{16}{3} \right)^{2} + 8^{2} - 10^{2}}{2 \cdot \dfrac{16}{3} \cdot 8} = \dfrac{\dfrac{256}{9} + 64 - 100 }{\dfrac{256}{3} } =$

$= \dfrac{\dfrac{256}{9} - 36 }{\dfrac{256}{3} } = \dfrac{\dfrac{256}{9} - \dfrac{324}{9} }{\dfrac{256}{3} } = \dfrac{\dfrac{256 - 324}{9} }{\dfrac{256}{3} } = -\dfrac{\dfrac{68}{9} }{ \dfrac{256}{3} } = - \dfrac{68 \cdot 3}{256 \cdot 9} = -\dfrac{68}{768} = -\dfrac{17}{192}$ .

Угол ∠ACB = ∠CAD как внутренние разносторонние углы при при параллельных прямых и секущей по теореме (BC║AD; AK - секущая).

Так как ∠ACB = ∠CAD, то cos ∠ACB = cos ∠CAD.

По теореме косинусов для треугольника ΔCAD:

$CD = \sqrt{AC^{2} + AD^{2} - 2 \cdot AC \cdot AD \cos \angle CAD} = \sqrt{8^{2} + 12^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 12\cdot \left (- \dfrac{17}{192} \right)} =$ $= \sqrt{64 + 144 + 17} = \sqrt{225} = 15$ .