Регистрация
кармини
30.06.2023 18:11
Алгебра
Есть ответ 👍

Докажите, используя принцип математической индукции, что значение выражения 9^n - 8n - 1 делится на 16 при любом натуральном значении n.

225
260
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

12345Камила1
12345Камила1
4,7(26 оценок)

1) Проверим справедливость утверждения при n=1:

9^1 - 8\cdot1 - 1=9-8-1=0\ \vdots\ 16

2) Предположим, что при n=k утверждение справедливо, то есть:

(9^k - 8k- 1)\ \vdots\ 16

3) Докажем, что при n=k+1 справедливо утверждение:

\left(9^{k+1} - 8(k+1)- 1\right)\ \vdots\ 16

Доказательство. Преобразуем:

9^{k+1} - 8(k+1)- 1=9\cdot9^k - 8k-8- 1=

=(9^k- 8k-1)+8\cdot9^k -8=(9^k- 8k-1)+8(9^k -1)

Первое слагаемое 9^k- 8k-1 делится на 16 по предположению, сделанному на втором шаге.

9^{k+1} - 8(k+1)- 1=\underset{\vdots\ 16}{\underbrace{(9^k- 8k-1)}}+8(9^k -1)

Рассмотрим второе слагаемое 8(9^k -1). Первый множитель 8 делится на 8. Заметим, что второй множитель является четным, так как выражение 9^k при k\in\mathbb{N} дает нечетные числа, тогда числа вида 9^k -1 являются четными. Таким образом, второе слагаемое делится на 8\cdot2=16.

9^{k+1} - 8(k+1)- 1=\underset{\vdots\ 16}{\underbrace{(9^k- 8k-1)}}+\underset{\vdots\ 16}{\underbrace{8(9^k -1)}}

Итак, оба слагаемых делятся на 16. Значит и вся сумма делится на 16. Доказано.

remboibragimov
remboibragimov
4,5(87 оценок)
3х^2+2х+1=0 d =4-12=-8 нет корней х^2+х=0 х(х-1)=0 х=0 или х-1=0 х=1 х^2-4х+3=0 d=16-12=4 d=2 x1=(4+2): 2=3 x2=(4-2): 2=1 5x^2+14x-3=0 d=196+60=256 d=16 x1=(-14-16): 2=-15 x2=(-14+16): 2=1

Популярно: Алгебра