в триугольнике АВС,где В =120, биссектрисы пересикаются в точке I.На продолжениях сторон AB и CB за точку B отмечены, соответственно , точки P и Q таким оброзом, что AP=CQ=AC.Найдите велечину PIQ

242

478

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

mot1475

Математика

4,6(24 оценок)

ну вроде так

Пошаговое объяснение:

AB=c; BC=a; CA=b

1) Известная формула для длины биссектрисы, благодаря тому, что угол B = 120 градусов, дает

2) По свойству биссектрисы . Но и BD - биссектриса (пояснение: CD=x; DA=y; x:y=a:c; x+y=b, отсюда выражаем x).

Следовательно, DE - биссектриса угла BDC. Аналогично, DM - биссектриса угла ADB. Поскольку эти углы смежные, угол между их биссектрисами равен 90 градусов:

4) Пусть DE и CM пересекаются в точке F; поскольку они являются биссектрисами треугольника BDC, BF является третьей биссектрисой этого треугольника, а поскольку угол DBC равен 60 градусов, угол DBF равен 30 градусов, а тогда угол ABF равен 90 градусов.

5) Таким образом, в четырехугольнике BMDF углы B и D - прямые, их сумма равна 180 градусов, а тогда вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.

6) Остается заметить, что углы DMF и DBF вписаны в эту окружность и опираются на одну дугу; следовательно, они равны. Но угол DBF равен 30, значит, и угол DMF=углу DMO = 30 градусов