Регистрация
sadko77777
13.12.2022 08:21
Алгебра
Есть ответ 👍

Уравнение
x²yy''=(y-xy')²

162
278
Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

nam0
nam0
4,5(95 оценок)

x^2yy''=(y-xy')^2

Замена: y'=yz

\Rightarrow y''=y'z+yz'=yz\cdot z+yz'=yz^2+yz'

Подставляем в исходное уравнение:

x^2y(yz^2+yz')=(y-xyz)^2

x^2y^2z^2+x^2y^2z'=y^2-2xy^2z+x^2y^2z^2

x^2y^2z'=y^2-2xy^2z

Заметим, что y=0 - решение, так как обращает исходное уравнение в верное равенство. Если y\neq 0, то разделим обе части уравнения на y^2:

x^2z'=1-2xz

x^2z'+2xz=1

z'+\dfrac{2}{x}\cdot z=\dfrac{1}{x^2}

Замена: z=uv

z'=u'v+uv'

Подставляем в уравнение:

u'v+uv'+\dfrac{2}{x}\cdot uv=\dfrac{1}{x^2}

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна нулю. Тогда:

u'v+\dfrac{2}{x}\cdot uv=0

u'+\dfrac{2}{x}\cdot u=0

u'=-\dfrac{2u}{x}

\dfrac{du}{dx} =-\dfrac{2u}{x}

\dfrac{du}{u} =-\dfrac{2dx}{x}

\int\dfrac{du}{u} =-\int\dfrac{2dx}{x}

\ln |u| =-2\ln|x|

u=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}

Тогда второе слагаемое левой части равно правой части уравнения:

uv'=\dfrac{1}{x^2}

\dfrac{1}{x^2}\cdot v'=\dfrac{1}{x^2}

v'=1

\dfrac{dv}{dx} =1

dv=dx

\int dv=\int dx

v=x+C_1

Значит:

z=uv=\dfrac{1}{x^2}\cdot (x+C_1)=\dfrac{1}{x} +\dfrac{C_1}{x^2}

Далее получим:

y'=yz=y\left(\dfrac{1}{x} +\dfrac{C_1}{x^2}\right)

\dfrac{dy}{dx} =y\left(\dfrac{1}{x} +\dfrac{C_1}{x^2}\right)

\dfrac{dy}{y} =\left(\dfrac{1}{x} +\dfrac{C_1}{x^2}\right)dx

\int \dfrac{dy}{y} =\int \left(\dfrac{1}{x} +\dfrac{C_1}{x^2}\right)dx

\ln |y| =\ln|x|-\dfrac{C_1}{x} +\ln C_2

\ln |y| -\ln|x|-\ln C_2=-\dfrac{C_1}{x}

\ln \dfrac{y}{C_2x} =-\dfrac{C_1}{x}

\dfrac{y}{C_2x} =e^{-\frac{C_1}{x} }

y =C_2xe^{-\frac{C_1}{x} }

Заметим, что частное решение y=0, отмеченное ранее, получается при C_2=0.

ответ: y =C_2xe^{-\frac{C_1}{x} }

rusnc
rusnc
4,6(46 оценок)
Вершина параболы квадратного уравнения ax²+bx+c, ищется по формулам:

Популярно: Алгебра