Ответы на вопрос:
решение не сложно, но требует знаний особенностей решения неоднородных линейных уравнений.
начнём.
1. сначала ищется общее решение(оно получается с произвольными константами), затем, для решения коши в это решение подставляются начальные условия, в результате, как правило, получается система уравнений, из которой и находятся конкретные значения этих коэффициентов.
2. общее решение неоднородного линейного уравнения, как правило, ищется в виде y=yо+yч, где yо- общее решение однородного уравнения, yч-частное решение общего уравнения.
3. займёмся однородным уравнением.
оно в нашем случае имеет вид
у"-2*у'=0
действуя по общей схеме, составляем характеристическое уравнение
л^2-2*л=0, откуда
л=2, л=0, а значит, общее решение нашего однородного уравнения имеет вид
yо=с1*exp(2*х)+с2
4. теперь попробуем найти частное решение нашего уравнения.
поглядим на правую часть
6*х*(1+х)^2=6*х^3 + 12*x^2 + 6*x это многочлен 3 степени.
частное решение будем искать тоже в виде многочлена, но 4 степени(просто слева в нашем уравнении отсутствует у, поэтому степень нужно повысить), то есть в виде
yч=a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e
подставим это наше исходное уравнение и получим
y'ч = 4*a*x^3 + 3*b*x^2 + 2*c*x + d
y"ч = 12*a*x^2 + 6*b*x + 2*c
y"ч-y'ч = (-4*a)*x^3 + (12*a - 3*b)*x^2 + (6-2*c) + (2*c-d)
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях этого многочлена и нашего в правой части, получим систему
-4*a=6
12*a - 3*b = 12
6 - 2*c = 6
2*c-d = 0
её легко решить, получив
а=-3/2; b=-10; c=0; d=0;
таким образом частное решение нашего уравнения имеет вид
yч = (-3/2)*x^4 - 10*x^3
5 а общее решения нашего исходного уравнения вид
y = yо + yч = с1*exp(2*х)+с2 + (-3/2)*x^4 - 10*x^3
6 теперь займёмся коши.
у(0)=0; у'(0)=1;
так как y' = 2*с1*exp(2*x) - 6*x^3 - 30*x^2, получим систему
y(0) = c1 + c2 = 0
y'(0) = 2*c1 = 1, откуда
с1 = 1/2; с2=-1/2.
7 мы решили исходную и решение коши исходного уравнения имеет вид.
y = (1/2)*exp(2*х) - (1/2) + (-3/2)*x^4 - 10*x^3
и, наконец, не списывайте решение, а попробуйте сами его получить, следуя инструкциям. я не исключаю, что мог допустить некоторые арифметические неточности.
успехов.
Популярно: Математика
-
zolotovavichka02.04.2022 16:13
-
Nikol300106.03.2023 14:40
-
Арина83838377323.09.2020 05:44
-
elizalove2134574702.02.2023 05:05
-
Nastya2316017.12.2022 08:06
-
ksenijasadovsa1322.09.2021 02:54
-
maks69423.06.2022 18:42
-
rortat3217.12.2022 07:04
-
отличница5457518.08.2022 03:01
-
kpodavilnikova24.05.2023 23:04