Вправильном пятиугольнике abcdeв правильном пятиугольнике abcde диагонали ве и bd пересекают диагональ ас в точках м и n соответственно. найдите отношение ам : мn.

165

413

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Korolinaaa

Геометрия

4,7(14 оценок)

Пусть: am = a, mn = b, угол bam = α, mbn = β. тогда очевидно: угол abm = α, abc = 2α+β = 3/5π (угол правильного пятиугольника) из δabm угол amb = π - 2α из δbmn (тоже равнобедренного) угол при основании bmn = (π-β)/2 при этом углы amb и bmn смежные и равны π. итого: 2α+β = 3/5π π - 2α + (π-β)/2 = π из этих двух равенств β = π/5, а если потом подставить в первое, то и α = π/5. по теореме косинусов из δbmn b² = a² + a² - 2 a · a · cos β b² = 2 a² (1- cos β) делим все на b² 1 = 2 a² / b² · (1- cos β) 1/ 2 / ( 1- cos β) = a² / b² ну и отношение a/b = 1/ √ ( 2 · ( 1- cos π/5) )