Втреугольнике abc проведены высоты bm и cn, o - центр окружности, касающейся стороны bc и продолжений сторон ab и ac. известно, что bc=6, mn=3. найдите радиус окружности, описанной около треугольника boc

210

335

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

DanilVolkov95

Математика

4,6(48 оценок)

треугольники amn и abc подобные с коэффициентом |cos a|. возможны два случая: 1) am = ab cos a, an = ac cos a, если угол a острый, то есть точки m, n лежат внутри сторон ac, ab; 2) am = ab cos (180° − a) = −ab cos a, an = ac cos (180° − a) = −ac cos a (косинус отрицательный), если угол a тупой, то есть точки m, n лежат на продолжениях сторон ac, ab; в первом случае угол a у треугольников общий, во втором — углы при вершине a вертикальные. следовательно, |cos a| = mn/bc = ½, ∠a = 60° или 120°. лучи bo и co являются биссектрисами внешних углов треугольника abc, поэтому ∠boc = 180° − (∠obc + ∠ocb) = 180° − ½(180° − ∠abc + 180° − ∠acb) = = ½(∠abc + ∠acb) = ½(180° − ∠a) = 90° − ½∠a. r(boc) = bc/(2 sin boc) = bc/(2 sin (90° − ½a)) = bc/(2 cos ½a). если ∠a = 60°, то r(boc) = 12/(2 cos 30°) = 4√3. если ∠a = 120°, то r(boc) = 12/(2 cos 60°) = 12.