Периметр треугольника равен 12. докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из его вершин больше 2.

228

404

Посмотреть ответы 2

Ответы на вопрос:

Элчанкин

Геометрия

4,4(1 оценок)

Одно из основных свойств треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c, a > b – c; и это верно для каждой стороны любого треугольника. сумма двух сторон треугольника периметра 12 должна быть обязательно больше его полупериметра, иначе треугольник не получится. и поэтому расстояние от любой точки плоскости - независимо от того, вне или внутри треугольника точка- до хотя бы одной из вершин этого треугольника будет больше половины длины большей его стороны, т.е. больше 2. предположим, существует такая точка, расстояние от которой до вершин треугольника не больше 2-х. тогда она при соединении с каждой парой вершин треугольника должна образовать треугольник, сумма длин двух сторон которого 4 или меньше, а третья сторона - обязательно меньше этой суммы по одному из основных свойств треугольника. это верно для каждой пары вершин, и в итоге получится, что каждая сторона исходного треугольника меньше 4, а его периметр меньше 12, что противоречит условию . следовательно, расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин треугольника с периметром 12 больше 2-х, что и требовалось доказать.[email protected]