Докажите теорему в описанном угле( любой частный случай)

254

321

Посмотреть ответы 3

Ответы на вопрос:

Асат11

Алгебра

4,5(40 оценок)

Объяснение:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Дано: окружность (О), АВС - вписанный, АС - внутри АВС.

Доказать: АВС = АС.

Доказательство:

1 случай

Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС.

Пусть ВО совпадает с ВС (Рис. 2).

В данном случае дуга АС меньше полуокружности, следовательно, АОС =АС (т.к. АОС - центральный угол, причем он меньше полуокружности, поэтому градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается).

АВО - равнобедренный с основанием АВ (т.к. ОА = ОВ - радиусы), 1 = 2 (углы при основании). АОС - внешний угол АВО, АОС = 1 + 2 = 21. Следовательно, учитывая то, что АОС =АС, получим: АС = 2 1, откуда 1 = АС, т.е. АВС = АС.

2 случай

Луч ВО делит угол АВС на два угла.

В данном случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (Рис. 3).

Точка D разделят дугу АС на две дуги: АD и DС, поэтому АС = АD + DС.

Луч ВD разделяет угол АВС на два угла, поэтому АВС = АВD + DВС.

По доказанному в 1 случае АВD = АD и DВС = DС. Складывая эти равенства, получаем: АВD + DВС = АD + DС или АВD + DВС = (АD + DС). Следовательно, АВС = АС.

3 случай

Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла.

В данном случае луч ВС пересекает дугу АD в точке С (Рис. 4).

Точка С разделят дугу АD на две дуги: АC и CD, поэтому АD = АC + CD, откуда АC = АD - CD.

Луч ВС разделяет угол АВD на два угла, поэтому АВD = АВC + CВD, откуда АВC = АВD - CВD.

По доказанному в 1 случае АВD = АD и СВD = СD. Вычитая из первого равенства второе, получаем: АВD - СВD = АD - CD или АВD - СВD = (АD - CD). Следовательно, АВС = АС.

Теорема доказана.