У рівнобедреному трикутнику АВС відомо, що АВ=ВС=6 см, кут А= 58 . Знайдіть сторону АС і висоту BD трикутника.

293

384

Посмотреть ответы 1

Ответы на вопрос:

xeniapopsoip00ty7

Геометрия

4,4(58 оценок)

Периметр треугольника равен 120 см

Объяснение:

Пусть один из катетов прямоугольного треугольника равен тогда второй — 70 - x.

По теореме Пифагора гипотенуза такого треугольника равна

$\sqrt {{x^2} + {{(70 - x)}^2}} = \sqrt {{x^2} + 4900 - 140x + {x^2}} = \sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} .$

В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна ее половине, т. е.

$m = \displaystyle\frac{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }}{2},$

а высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется через формулу $h = \displaystyle\frac{{ab}}{c},$ т. е.

$h = \displaystyle\frac{{x(70 - x)}}{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }}.$

По условию

$m + h = 49;displaystyle\frac{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }}{2} + \displaystyle\frac{{x(70 - x)}}{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }} = 49.$

Заметим, что дискриминант квадратного трехчлена $2({x^2} - 70x + 2450)$ отрицательный, значит выражение под корнем никогда не превращается в ноль. Умножим обе части уравнения на $2\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900}$ :

$2{x^2} - 140x + 4900 + 2x(70 - x) = 98\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} ;2{x^2} - 140x + 4900 + 140x - 2{x^2} = 98\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} ;98\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} = 4900;sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} = 50;2{x^2} - 140x + 4900 = 2500;2{x^2} - 140x + 2400 = 0;{x^2} - 70x + 1200 = 0;left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 70,\\{x_1}{x_2} = 1200;\end{array} \right.{x_1} = 30,\,\,{x_2} = 40.$