Ответы на вопрос:
ладно, хоть я и на коленках делал, а все равно - попробую оформить.
x^2/96 + y^2 + z^2 = 1; (1/96)*x*dx + y*dy + z*dz = 0;
ищем такую точку (x0,y0,z0), принадлежащую эллипсоиду, что плоскость, определяемая уравнением
(1/96)*x0*(x - x0) + y0*(y - y0) + z0*(z - z0) = 0; (просто заменили dx = x - x0, получили касательную плоскость в точке (x0,y0,z0), это все в точности, как в одномерном случае связь производной и касательной к графику)
самая близкая точка эллипсоида к плоскости 3x+4y+12z=288; будет там, где касательная плоскость параллельна ей. отсюда получаем
(x0/96, y0, z0) = (3*a, 4*a, 12*a); то есть (x0,y0,z0) = (288*a,4*a,12*a);
а находится из уравнения эллипсоида.
a^2 = 1/(288^2/96 + 4^2 + 12^2) = 1/1024; a = 1/32; (минус тоже подходит, но интуитивно понятно, то решение с "плюсом" ближе к плоскости)
мы получили точку эллипсоида, самую близкую к плоскости.
это точка r0 = (9,1/8,3/8) (жирным выделены вектора, под r понимается радиус-вектор точки, то есть вектор из начала координат в точку (x,y,z))
уравнение плоскости можно переписать в виде nr = 288/iаi,
где a = (3,4,12); iai = корень(3^2 + 4^2 + 12^2) = 13; n = a/iai - единичный вектор.
n = (3/13, 4/13, 12/13); nr = 288/13 - уравнение заданной плоскости.
вычислим nr0 = (3*9+4*1/8+12*3/8)/13 = 32/13. это и есть уравнение касательной плоскости в точке r0.
поскольку скалярные произведения не зависят от выбора направления осей и расстояния - тоже, повернем оси так, чтобы n стал единичным вектором оси z.
тогда уравнения этих двух плоскостей превратятся в z = 288/13 и z = 32/13. ясно, что расстояние между ними равно 288/13 - 32/13 = 256/13.
Популярно: Геометрия
-
misspolina96710.03.2021 14:15
-
Ste5an21.12.2020 00:47
-
natalyiphonep0725u20.06.2021 20:44
-
rouberuplay25.07.2022 08:35
-
fanaidap31.08.2020 04:38
-
нету3602.01.2023 00:57
-
BooWim28.01.2020 22:40
-
asya2004509.06.2023 09:38
-
vladimirnishta106.09.2020 03:18
-
mariabrin2702.09.2020 15:59